Определение функции нескольких переменных. Производные сложных функций нескольких переменных Сложная функция нескольких переменных определение
(лекция 1)
Функции 2-х переменных.
Переменная z называется функцией 2х переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y) G ставится в соответствие определенное значение переменной z.
Опр. Окрестностью точки р 0 называется круг с центром в точке р 0 и радиусом. = (х-х 0 ) 2 +(у-у 0 ) 2
сколь угодно малого числа можно указать такое число ()>0, что при всех значениях х и у, для которых расстояние от т. р до р0 меньше выполняется неравенство: f(x,y) А, т.е. для всех точек р, попадающих в окрестность точки р 0 , с радиусом, значение функции отличается от А меньше чем на по абсолютной величине. А это значит, что когда точка р приблизится к точке р 0 по любому
Непрерывность функции.
Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р 0 (х 0 ,у 0)- рассматриваемая точка.
Опр.
3)Предел равен значению функции в этой точке: = f(x 0 ,y 0);
Lim f(x,y) = f(x 0 ,y 0 );
pp 0
Частное производной.
Дадим аргументу х приращение х; х+х, получим точку р 1 (х+х,у), вычислим разность значений функции в точке р:
х z = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y) частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х.
z = Lim x z
z = Lim f(x+x,y) - f(x,y)
X x0 X
Определение функции нескольких переменных
При рассмотрении многих вопросов из различных областей знания приходится изучать такие зависимости между переменными величинами, когда числовые значения одной из них полностью определяются значениями нескольких других.
Например , изучая физическое состояние какого-либо тела, приходится наблюдать изменение его свойств от точки к точке. Каждая точка тела задается тремя координатами: x, y, z. Поэтому, изучая, скажем, распределение плотности, заключаем, что плотность тела зависит от трех переменных: x, y, z. Если физическое состояние тела к тому же еще и меняется с течением времени t, то та же плотность будет зависеть уже от значений четырех переменных: x, y, z, t.
Другой пример : изучаются издержки производства на изготовление единицы некоторого вида продукции. Пусть:
x - затраты по материалам,
y - расходы на выплату заработной платы работникам,
z - амортизационные отчисления.
Очевидно, что издержки производства зависят от значений названных параметров x, y, z.
Определение 1.1 Если каждой совокупности значений "n" переменных
из некоторого множества D этих совокупностей соответствует своё единственное значение переменной z, то говорят, что на множестве D задана функция
"n" переменных.
Множество D, указанное в определении 1.1, называется областью определяния или областью существования этой функции.
Если рассматривается функция двух переменных, то совокупности чисел
обозначаются, как правило, (x, y) и интерпретируются как точки координатной плоскости Oxy, а область определения функции z = f (x, y) двух переменных изобразится в виде некоторого множества точек на плоскости Oxy.
Так, например, областью определения функции
является множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют соотношению
т. е. представляет собой круг радиуса r с центром в начале координат.
Для функции
областью определения служат точки, которые удовлетворяют условию
т. е. внешние по отношению к заданному кругу.
Часто функции двух переменных задаются в неявном виде, т. е. как уравнение
связывающее три переменные величины. В этом случае каждую из величин x, y, z можно рассматривать как неявную функцию двух остальных.
Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных z = f (x, y) является множество точек P (x, y, z) в трехмерном пространстве Oxyz, координаты которых удовлетворяют уравнению z = f (x, y).
Графиком функции непрерывных аргументов, как правило, является некоторая поверхность в пространстве Oxyz, которая проектируется на координатную плоскость Oxy в область определения функции z= f (x, y).
Так, например, (рис. 1.1) графиком функции
является верхняя половина сферы, а графиком функции
Нижняя половина сферы.
Графиком линейной функции z = ax + by + с является плоскость в пространстве Oxyz, а графиком функции z = сonst служит плоскость, параллельная координатной плоскости Oxyz.
Заметим, что функцию трех и большего числа переменных изобразить наглядно в виде графика в трехмерном пространстве невозможно.
В дальнейшем будем в основном ограничиваться рассмотрением функций двух или трех переменных, так как рассмотрение случая большего (но конечного) числа переменных производится аналогично.
Определение функции нескольких переменных.
(лекция 1)
Переменная u называется f(x,y,z,..,t), если для любой совокупности значений (x,y,z,..,t) ставится в соответствие вполне определенное значение переменной u.
Множество совокупностей значение переменной называют областью определения ф-ции.
G - совокупность (x,y,z,..,t) - область определения.
Функции 2-х переменных.
Переменная z называется функцией 2х переменных f(x,y), если для любой пары значений (x,y) Î G ставится в соответствие определенное значение переменной z.
Предел функции 2-х переменных.
Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р 0 (х 0 ,у 0)- рассматриваемая точка.
Опр. Окрестностью точки р 0 называется круг с центром в точке р 0 и радиусом r. r = Ö (х-х 0 ) 2 +(у-у 0 ) 2 Ø
Число А называется пределом функции |в точке р 0 , если для любого
сколь угодно малого числа e можно указать такое число r (e)>0, что при всех значениях х и у, для которых расстояние от т. р до р0 меньше r выполняется неравенство: ½f(x,y) - А½0, с радиусом r, значение функции отличается от А меньше чем на e по абсолютной величине. А это значит, что когда точка р приблизится к точке р 0 по любому пути, значение функции неограниченно приближается к числу А.
Непрерывность функции.
Пусть задана функция z=f(x,y), р(х,у)-текущая точка, р 0 (х 0 ,у 0)- рассматриваемая точка.
Опр. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в т. р 0 , если выполняются 3 условия:
1)функция определена в этой точке. f(р 0) = f(x,y);
2)ф-я имеет предел в этой точке.
3)Предел равен значению функции в этой точке: b = f(x 0 ,y 0);
Lim f(x,y) = f(x 0 ,y 0 ) ;
p à p 0
Если хотя бы 1 из условий непрерывности нарушается, то точка р называется точкой разрыва. Для функций 2х переменных могут существовать отдельные точки разрыва и целые линии разрыва.
Понятие предела и непрерывности для функций большего числа переменных определяется аналогично.
Функцию трех переменных невозможно изобразить графически, в отличие от функции 2х переменных.
Для функции 3х переменных могут существовать точки разрыва, линии и поверхности разрыва.
Частное производной.
Рассморим функцию z=f(x,y), р(х,у)- рассматриваемая точка.
Дадим аргументу х приращение Dх; х+Dх, получим точку р 1 (х+Dх,у), вычислим разность значений функции в точке р:
D х z = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - частное приращение функции соответствующее приращению аргумента х.
Опр. Частное производной функции z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю.
¶ z = Lim D x z
චz = Lim f(x+ D x,y) - f(x,y)
¶ x D x ® 0 D x
Аналогично определяем частное производной по переменной у.
Нахождение частных производных.
При определении частных производных каждый раз изменяется только одна переменная, остальные переменные рассматриваются как постоянные. В результате каждый раз мы рассматриваем функцию только одной переменной и частная производной совпадает с обычной производной этой функции одной переменной. Отсюда правило нахождения частных производных: частноя производная по рассматриваемой переменной ищется как обычная производнаяфункции одной этой переменной, остальные переменные расстатриваются как постоянные величины. При этом оказываются справедливыми все формулы дифференцирования функции одной переменной (производноя суммы, произведения, частного).
Понятие функции нескольких переменных
Если каждой точке X = (х 1 , х 2 , …х n) из множества {X} точек n–мерного пространства ставится в соответствие одно вполне определенное значение переменной величины z, то говорят, что задана функция n переменных z = f(х 1 , х 2 , …х n) = f (X).
При этом переменные х 1 , х 2 , …х n называют независимыми переменными или аргументами функции, z - зависимой переменной , а символ f обозначает закон соответствия . Множество {X} называют областью определения функции (это некое подмножество n-мерного пространства).
Например, функция z = 1/(х 1 х 2) представляет собой функцию двух переменных. Ее аргументы – переменные х 1 и х 2 , а z – зависимая переменная. Область определения – вся координатная плоскость, за исключением прямых х 1 = 0 и х 2 = 0, т.е. без осей абсцисс и ординат. Подставив в функцию любую точку из области определения, по закону соответствия получим определенное число. Например, взяв точку (2; 5), т.е. х 1 = 2, х 2 = 5, получим
z = 1/(2*5) = 0,1 (т.е. z(2; 5) = 0,1).
Функция вида z = а 1 х 1 + а 2 х 2 + … + а n х n + b, где а 1 , а 2 ,…, а n , b - по стоянные числа, называют линейной . Ее можно рассматривать как сумму n линейных функций от переменных х 1 , х 2 , …х n . Все остальные функции называют нелинейными .
Например, функция z = 1/(х 1 х 2) – нелинейная, а функция z =
= х 1 + 7х 2 - 5 – линейная.
Любой функции z = f (X) = f(х 1 , х 2 , …х n) можно поставить в соответствие n функций одной переменной, если зафиксировать значения всех переменных, кроме одной.
Например, функции трех переменных z = 1/(х 1 х 2 х 3) можно поставить в соответствие три функции одной переменной. Если зафиксировать х 2 = а и х 3 = b то функция примет вид z = 1/(аbх 1); если зафиксировать х 1 = а и х 3 = b, то она примет вид z = 1/(аbх 2); если зафиксировать х 1 = а и х 2 = b, то она примет вид z = 1/(аbх 3). В данном случае все три функции имеют одинаковый вид. Это не всегда так. Например, если для функции двух переменных зафиксировать х 2 = а, то она примет вид z = 5х 1 а, т.е. степенной функции, а если зафиксировать х 1 = а, то она примет вид , т.е. показательной функции.
Графиком
функции двух переменных z = f(x, у) называется множество точек трёхмерного пространства (х, у, z), аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соотношением
z = f (x, у). Этот график представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве (например, как на рисунке 5.3).
Можно доказать, что если функция – линейная (т.е. z = ax + by + c), то ее график представляет собой плоскость в трехмерном пространстве. Другие примеры трехмерных графиков рекомендуется изучить самостоятельно по учебнику Кремера (стр. 405-406).
Если переменных больше двух (n переменных), то график функции представляет собой множество точек (n+1)-мерного пространства, для которых координата х n+1 вычисляется в соответствии с заданным функциональным законом. Такой график называют гиперповерхностью (для линейной функции – гиперплоскостью ), и он также представляет собой научную абстракцию (изобразить его невозможно).
Рисунок 5.3 – График функции двух переменных в трехмерном пространстве
Поверхностью уровня функции n переменных называется множество точек в n–мерном пространстве, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Само число С в этом случае называется уровнем .
Обычно для одной и той же функции можно построить бесконечно много поверхностей уровня (соответствующих различным уровням).
Для функции двух переменных поверхность уровня принимает вид линии уровня .
Например, рассмотрим z = 1/(х 1 х 2). Возьмем С = 10, т.е. 1/(х 1 х 2) = 10. Тогда х 2 = 1/(10х 1), т.е. на плоскости линия уровня примет вид, представленный на рисунке 5.4 сплошной линией. Взяв другой уровень, например, С = 5, получим линию уровня в виде графика функции х 2 = 1/(5х 1) (на рисунке 5.4 показана пунктиром).
Рисунок 5.4 - Линии уровня функции z = 1/(х 1 х 2)
Рассмотрим еще один пример. Пусть z = 2х 1 + х 2 . Возьмем С = 2, т.е. 2х 1 + х 2 = 2. Тогда х 2 = 2 - 2х 1 , т.е. на плоскости линия уровня примет вид прямой, представленный на рисунке 5.5 сплошной линией. Взяв другой уровень, например, С = 4, получим линию уровня в виде прямой х 2 = 4 - 2х 1 (на рисунке 5.5 показана пунктиром). Линия уровня для 2х 1 + х 2 = 3 показана на рисунке 5.5 точечной линией.
Легко убедиться, что для линейной функции двух переменных любая линия уровня будет представлять собой прямую на плоскости, причем все линии уровня будут параллельны между собой.
Рисунок 5.5 - Линии уровня функции z = 2х 1 + х 2
До сих пор нами рассматривалась простейшая функциональная модель, в которой функция зависит от единственного аргумента . Но при изучении различных явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с одновременным изменением более чем двух величин, и многие процессы можно эффективно формализовать функцией нескольких переменных , где – аргументы или независимые переменные . Начнём разработку темы с наиболее распространенной на практике функции двух переменных .
Функцией двух переменных называется закон , по которому каждой паре значений независимых переменных (аргументов) из области определения соответствует значение зависимой переменной (функции).
Данную функцию обозначают следующим образом:
Либо , или же другой стандартной буквой:
Поскольку упорядоченная пара значений «икс» и «игрек» определяет точку на плоскости , то функцию также записывают через , где – точка плоскости с координатами . Такое обозначение широко используется в некоторых практических заданиях.
Геометрический смысл функции двух переменных очень прост. Если функции одной переменной соответствует определённая линия на плоскости (например, – всем знакомая школьная парабола), то график функции двух переменных располагается в трёхмерном пространстве. На практике чаще всего приходится иметь дело с поверхностью , но иногда график функции может представлять собой, например, пространственную прямую (ые) либо даже единственную точку.
С элементарным примером поверхности мы хорошо знакомы ещё из курса аналитической геометрии – это плоскость . Предполагая что , уравнение легко переписать в функциональном виде:
Важнейший атрибут функции 2 переменных – это уже озвученная область определения .
Областью определения функции двух переменных называется множество всех пар , для которых существует значение .
Графически область определения представляет собой всю плоскость либо её часть
. Так, областью определения функции 
является вся координатная плоскость – по той причине, что для любой
точки существует значение .
Но такой праздный расклад бывает, конечно же, не всегда:
Как двух переменных?
Рассматривая различные понятия функции нескольких переменных, полезно проводить аналогии с соответствующими понятиями функции одной переменной. В частности, при выяснении области определения мы обращали особое внимание на те функции, в которых есть дроби, корни чётной степени, логарифмы и т. д. Здесь всё точно так же!
Задача на нахождение области определения функции двух переменных практически со 100%-ной вероятностью встретится вам в тематической работе, поэтому я разберу приличное количество примеров:
Пример 1
Найти область определения функции 
Решение
: так как знаменатель не может обращаться в ноль, то:
Ответ : вся координатная плоскость кроме точек, принадлежащих прямой
Да-да, ответ лучше записать именно в таком стиле. Область определения функции двух переменных редко обозначают каким-либо символом, гораздо чаще используют словесное описание и/или чертёж .
Если бы по условию требовалось выполнить чертёж, то следовало бы изобразить координатную плоскость и пунктиром провести прямую . Пунктир сигнализирует о том, что линия не входит в область определения.
Как мы увидим чуть позже, в более трудных примерах без чертежа и вовсе не обойтись.
Пример 2
Найти область определения функции 
Решение
: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
Ответ : полуплоскость
Графическое изображение здесь тоже примитивно: чертим декартову систему координат, сплошной линией проводим прямую и штрихуем верхнюю полуплоскость . Сплошная линия указывает на тот факт, что она входит в область определения.
Внимание! Если вам ХОТЬ ЧТО-ТО не понятно по второму примеру, пожалуйста, подробно изучите/повторите урок Линейные неравенства – без него придётся очень туго!
Миниатюра для самостоятельного решения:
Пример 3
Найти область определения функции
Двухстрочное решение и ответ в конце урока.
Продолжаем разминаться:
Пример 4
И изобразить её на чертеже
Решение
: легко понять, что такая формулировка задачи требует
выполнения чертёжа (даже если область определения очень проста). Но сначала аналитика: подкоренное выражением должно быть неотрицательным: и, учитывая, что знаменатель не может обращаться в ноль, неравенство становится строгим:
Как определить область, которую задаёт неравенство ? Рекомендую тот же алгоритм действий, что и при решении линейных неравенств .
Сначала чертим линию , которую задаёт соответствующее равенство . Уравнение определяет окружность с центром в начале координат радиуса , которая делит координатную плоскость на две части – «внутренность» и «внешность» круга. Так как неравенство у нас строгое , то сама окружность заведомо не войдёт в область определения и поэтому её нужно провести пунктиром .
Теперь берём произвольную
точку плоскости, не принадлежащую
окружности , и подставляем её координаты в неравенство . Проще всего, конечно же, выбрать начало координат :
Получено неверное неравенство
, таким образом, точка не удовлетворяет
неравенству . Более того, данному неравенству не удовлетворяет и любая точка, лежащая внутри круга, и, стало быть, искомая область определения – внешняя его часть. Область определения традиционно штрихуется:
Желающие могут взять любую точку, принадлежащую заштрихованной области и убедиться, что её координаты удовлетворяют неравенству . Кстати, противоположное неравенство задаёт круг
с центром в начале координат, радиуса .
Ответ : внешняя часть круга
Вернёмся к геометрическому смыслу задачи: вот мы нашли область определения и заштриховали её, что это значит? Это значит, что в каждой точке заштрихованной области существует значение «зет» и графически функция 
представляет собой следующую поверхность
:
На схематическом чертеже хорошо видно, что данная поверхность местами расположена над
плоскостью (ближний и дальний от нас октанты)
, местами – под
плоскостью (левый и правый относительно нас октанты)
. Также поверхность проходит через оси . Но поведение функции как таковое нам сейчас не очень интересно – важно, что всё это происходит исключительно в области определения
. Если мы возьмём любую точку , принадлежащую кругу – то никакой поверхности там не будет (т.к. не существует «зет»)
, о чём и говорит круглый пробел в середине рисунка.
Пожалуйста, хорошо осмыслите разобранный пример, поскольку в нём я подробнейшим образом разъяснил саму суть задачи.
Следующее задание для самостоятельного решения:
Пример 5
Краткое решение и чертёж в конце урока. Вообще, в рассматриваемой теме среди линий 2-го порядка наиболее популярна именно окружность, но, как вариант, в задачу могут «затолкать» эллипс , гиперболу или параболу .
Идём на повышение:
Пример 6
Найти область определения функции
Решение : подкоренное выражение должно быть неотрицательным: и знаменатель не может равняться нулю: . Таким образом, область определения задаётся системой .
С первым условием разбираемся по стандартной схеме рассмотренной на уроке Линейные неравенства : чертим прямую и определяем полуплоскость, которая соответствует неравенству . Поскольку неравенство нестрогое , то сама прямая также будет являться решением.
Со вторым условием системы тоже всё просто: уравнение задаёт ось ординат, и коль скоро , то её следует исключить из области определения.
Выполним чертёж, не забывая, что сплошная линия обозначает её вхождение в область определения, а пунктир – исключение из этой области:
Следует отметить, что здесь мы уже фактически вынуждены
сделать чертёж. И такая ситуация типична – во многих задачах словесное описание области затруднено, а даже если и опишите, то, скорее всего, вас плохо поймут и заставят изобразить область.
Ответ : область определения:
К слову, такой ответ без чертежа действительно смотрится сыровато.
Ещё раз повторим геометрический смысл полученного результата: в заштрихованной области существует график функции , который представляет собой поверхность трёхмерного пространства . Эта поверхность может располагаться выше/ниже плоскости , может пересекать плоскость – в данном случае нам всё это параллельно. Важен сам факт существования поверхности, и важно правильно отыскать область, в которой она существует.
Пример 7
Найти область определения функции 
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока.
Не редкость, когда вроде бы простые на вид функции вызывают далеко не скороспелое решение:
Пример 8
Найти область определения функции
Решение
: используя формулу разности квадратов
, разложим подкоренное выражение на множители: 
.
Произведение двух множителей неотрицательно 
, когда оба
множителя неотрицательны: ИЛИ
когда оба
неположительны: . Это типовая фишка. Таким образом, нужно решить две системы линейных неравенств
и ОБЪЕДИНИТЬ
полученные области. В похожей ситуации вместо стандартного алгоритма гораздо быстрее работает метод научного, а точнее, практического тыка =)
Чертим прямые , которые разбивают координатную плоскость на 4 «уголка». Берём какую-нибудь точку, принадлежащую верхнему «уголку», например, точку и подставляем её координаты в уравнения 1-й системы: 
. Получены верные неравенства, а значит, решением системы является весь
верхний «уголок». Штрихуем.
Теперь берём точку , принадлежащую правому «уголку». Осталась 2-я система, в которую мы и подставляем координаты этой точки: 
. Второе неравенство неверно, следовательно, и весь
правый «уголок» не является решением системы .
Аналогичная история с левым «уголком», который тоже не войдёт в область определения.
И, наконец, подставляем во 2-ю систему координаты подопытной точки нижнего «уголка»: 
. Оба неравенства верны, а значит, решением системы является и весь
нижний «уголок», который тоже следует заштриховать.
В реальности так подробно расписывать, естественно, не надо – все закомментированные действия легко выполняются устно!
Ответ
: область определения представляет собой объединение
решений систем 
.
Как вы догадываетесь, без чертежа такой ответ вряд ли пройдёт, и это обстоятельство вынуждает взять в руки линейку с карандашом, хоть того и не требовало условие.
А это ваш орешек:
Пример 9
Найти область определения функции
Хороший студент всегда скучает по логарифмам:
Пример 10
Найти область определения функции 
Решение : аргумент логарифма строго положителен, поэтому область определения задаётся системой .
Неравенство указывает на правую полуплоскость и исключает ось .
Со вторым условием ситуация более затейлива, но тоже прозрачна. Вспоминаем синусоиду
. В качестве аргумента выступает «игрек», но это не должно смущать – игрек, так игрек, зю, так зю. Где синус больше нуля? Синус больше нуля, например, на интервале . Поскольку функция периодична, то таких интервалов бесконечно много и в свёрнутом виде решение неравенства запишется следующим образом:
, где – произвольное целое число.
Бесконечное количество промежутков, понятно, не изобразить, поэтому ограничимся интервалом 
и его соседями:
Выполним чертёж, не забывая, что согласно первому условию, наше поле деятельности ограничивается строго правой полуплоскостью:
мда …какой-то чертёж-призрак получился… доброе приведение высшей математики…
Ответ
: 
Следующий логарифм ваш:
Пример 11
Найти область определения функции 
В ходе решения придётся построить параболу , которая поделит плоскость на 2 части – «внутренность», находящуюся между ветвями, и внешнюю часть. Методика нахождения нужной части неоднократно фигурировала в статье Линейные неравенства и предыдущих примерах этого урока.
Решение, чертёж и ответ в конце урока.
Заключительные орешки параграфа посвящены «аркам»:
Пример 12
Найти область определения функции 
Решение
: аргумент арксинуса должен находиться в следующих пределах:
Дальше есть две технические возможности: более подготовленные читатели по аналогии с последними примерами урока Область определения функции одной переменной
могут «ворочать» двойное неравенство и оставить в середине «игрек». Чайникам же рекомендую преобразовать «паровозик» в равносильную систему неравенств
:
Система решается как обычно – строим прямые и находим нужные полуплоскости. В результате:
Обратите внимание, что здесь границы входят в область определения и прямые проводятся сплошными линиями. За этим всегда нужно тщательно следить, чтобы не допустить грубой ошибки.
Ответ : область определения представляет собой решение системы
Пример 13
Найти область определения функции
В образце решения используется продвинутая техника – преобразуется двойное неравенство.
На практике также иногда встречаются задачи на нахождение области определения функции трёх переменных . Областью определения функции трёх переменных может являться всё трёхмерное пространство, либо его часть. В первом случае функция определена для любой точки пространства, во втором – только для тех точек , которые принадлежат некоторому пространственному объекту, чаще всего – телу . Это может быть прямоугольный параллелепипед, эллипсоид , «внутренность» параболического цилиндра и т.д. Задача отыскания области определения функции трёх переменных обычно состоит в нахождении этого тела и выполнении трёхмерного чертежа. Однако такие примеры довольно редкИ (нашёл у себя всего пару штук) , и поэтому я ограничусь лишь этим обзорным абзацем.
Линии уровня
Для лучшего понимания этого термина будем сравнивать ось с высотой : чем больше значение «зет» – тем больше высота, чем меньше значение «зет» – тем высота меньше. Также высота может быть и отрицательной.
Функция в своей области определения представляет собой пространственный график, для определённости и бОльшей наглядности будем считать, что это тривиальная поверхность. Что такое линии уровня ? Образно говоря, линии уровня – это горизонтальные «срезы» поверхности на различных высотах. Данные «срезы» или правильнее сказать, сечения проводятся плоскостями , после чего проецируются на плоскость .
Определение : линией уровня функции называется линия на плоскости , в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение: .
Таким образом, линии уровня помогают выяснить, как выглядит та или иная поверхность – причём помогают без построения трёхмерного чертежа! Рассмотрим конкретную задачу:
Пример 14
Найти и построить несколько линий уровня графика функции
Решение
: исследуем форму данной поверхности с помощью линий уровня. Для удобства развернём запись «задом наперёд»: 
Очевидно, что в данном случае «зет» (высота) заведомо не может принимать отрицательные значения (так как сумма квадратов неотрицательна) . Таким образом, поверхность располагается в верхнем полупространстве (над плоскостью ).
Поскольку в условии не сказано, на каких конкретно высотах нужно «срезать» линии уровня, то мы вольнЫ выбрать несколько значений «зет» на своё усмотрение.
Исследуем поверхность на нулевой высоте, для этого поставим значение в равенство 
:
Решением данного уравнения является точка . То есть, при линия уровня представляет собой точку .
Поднимаемся на единичную высоту и «рассекаем» нашу поверхность 
плоскостью (подставляем в уравнение поверхности)
:
Таким образом, для высоты линия уровня представляет собой окружность с центром в точке единичного радиуса .
Напоминаю, что все «срезы» проецируются на плоскость , и поэтому у точек я записываю две, а не три координаты!
Теперь берём, например, плоскость и «разрезаем ей» исследуемую поверхность 
(подставляем
в уравнение поверхности)
:
Таким образом, для высоты линия уровня представляет собой окружность с центром в точке радиуса .
И, давайте построим ещё одну линию уровня, скажем, для :
– окружность с центром в точке радиуса 3
.
Линии уровня, как я уже акцентировал внимание, располагаются на плоскости , но каждая линия подписывается – какой высоте она соответствует:
Нетрудно понять, что другие линии уровня рассматриваемой поверхности тоже представляют собой окружности, при этом, чем выше мы поднимаемся вверх (увеличиваем значение «зет») – тем больше становится радиус. Таким образом, сама поверхность
представляет собой бесконечную чашу с яйцевидным дном, вершина которой расположена на плоскости . Эта «чаша» вместе с осью «выходит прямо на вас» из экрана монитора, то есть вы смотрите в её дно =) И это неспроста! Только я так убойно наливаю на посошок =) =)
Ответ : линии уровня данной поверхности представляют собой концентрические окружности вида
Примечание : при получается вырожденная окружность нулевого радиуса (точка)
Само понятие линии уровня пришло из картографии. Перефразируя устоявшийся математический оборот, можно сказать, что линия уровня – это географическое место точек одинаковой высоты
. Рассмотрим некую гору с линиями уровня 1000, 3000 и 5000 метров:
На рисунке хорошо видно, что левый верхний склон горы гораздо круче правого нижнего склона. Таким образом, линии уровня позволяют отразить рельеф местности на «плоской» карте. Кстати, здесь приобретают вполне конкретный смысл и отрицательные значения высоты – ведь некоторые участки поверхности Земли располагаются ниже нулевой отметки уровня мирового океана.
) мы уже неоднократно сталкивались с частными производными сложных функций наподобие и более трудными примерами. Так о чём же ещё можно рассказать?! …А всё как в жизни – нет такой сложности, которую было бы нельзя усложнить =) Но математика – на то и математика, чтобы укладывать многообразие нашего мира в строгие рамки. И иногда это удаётся сделать одним-единственным предложением:
В общем случае сложная функция имеет вид 
, где, по меньшей мере, одна
из букв представляет собой функцию
, которая может зависеть от произвольного
количества переменных.
Минимальный и самый простой вариант – это давно знакомая сложная функция одной переменной, производную которой
мы научились находить в прошлом семестре. Навыками дифференцирования функций вы тоже обладаете (взгляните на те же функции 
)
.
Таким образом, сейчас нас будет интересовать как раз случай . По причине великого разнообразия сложных функций общие формулы их производных имеют весьма громоздкий и плохо усваиваемый вид. В этой связи я ограничусь конкретными примерами, из которых вы сможете понять общий принцип нахождения этих производных:
Пример 1
Дана сложная функция , где 
. Требуется:
1) найти её производную и записать полный дифференциал 1-го порядка;
2) вычислить значение производной при .
Решение
: во-первых, разберёмся с самой функцией. Нам предложена функция, зависящая от и , которые в свою очередь являются функциями
одной переменной:
Во-вторых, обратим пристальное внимание на само задание – от нас требуется найти производнУЮ
, то есть, речь идёт вовсе не о частных производных , которые мы привыкли находить! Так как функция 
фактически зависит только от одной переменной, то под словом «производная» подразумевается полная производная
. Как её найти?
Первое, что приходит на ум, это прямая подстановка и дальнейшее дифференцирование. Подставим 
в функцию :
, после чего с искомой производной никаких проблем:
И, соответственно, полный дифференциал: 
Это решение математически корректно, но маленький нюанс состоит в том, что когда задача формулируется так, как она сформулирована – такого варварства от вас никто не ожидает =) А если серьёзно, то придраться тут действительно можно. Представьте, что функция описывает полёт шмеля, а вложенные функции меняются в зависимости от температуры. Выполняя прямую подстановку 
, мы получаем лишь частную информацию
, которая характеризует полёт, скажем, только в жаркую погоду. Более того, если человеку не сведущему в шмелях предъявить готовый результат и даже сказать, что это за функция, то он так ничего и не узнает о фундаментальном законе полёта!
Вот так вот совершенно неожиданно брат наш жужжащий помог осознать смысл и важность универсальной формулы:
Привыкайте к «двухэтажным» обозначениям производных – в рассматриваемом задании в ходу именно они. При этом следует быть очень аккуратным
в записи: производные с прямыми значками «дэ» – это полные производные
, а производные с округлыми значками – это частные производные
. С последних и начнём:
Ну а с «хвостами» вообще всё элементарно:
Подставим найденные производные в нашу формулу:
Когда функция изначально предложена в замысловатом виде, то будет логичным (и тому дано объяснение выше!)
оставить в таком же виде и результаты:
При этом в «навороченных» ответах лучше воздержаться даже от минимальных упрощений (тут, например, напрашивается убрать 3 минуса)
– и вам работы меньше, и мохнатый друг доволен рецензировать задание проще.
Однако не лишней будет черновая проверка. Подставим 
в найденную производную и проведём упрощения:
(на последнем шаге использованы тригонометрические формулы
, 
)
В результате получен тот же результат, что и при «варварском» методе решения.
Вычислим производную в точке . Сначала удобно выяснить «транзитные» значения (значения функций 
)
:
Теперь оформляем итоговые расчёты, которые в данном случае можно выполнить по-разному. Использую интересный приём, в котором 3 и 4 «этажа» упрощаются не по обычным правилам , а преобразуются как частное двух чисел:
И, конечно же, грех не проверить по более компактной записи 
:
Ответ
: 
Бывает, что задача предлагается в «полуобщем» виде:
«Найти производную функции , где 
»
То есть «главная» функция не дана, но её «вкладыши» вполне конкретны. Ответ следует дать в таком же стиле:
Более того, условие могут немного подшифровать:
«Найти производную функции 
»
В этом случае нужно самостоятельно
обозначить вложенные функции какими-нибудь подходящими буквами, например, через 
и воспользоваться той же формулой:
К слову, о буквенных обозначениях. Я уже неоднократно призывал не «цепляться за буквы», как за спасательный круг, и сейчас это особенно актуально! Анализируя различные источники по теме, у меня вообще сложилось впечатление, что авторы «пошли вразнос» и стали безжалостно бросать студентов в бурные пучины математики =) Так что уж простите:))
Пример 2
Найти производную функции 
, если 
Другие обозначения не должны приводить в замешательство! Каждый раз, когда вы встречаете подобное задание, нужно ответить на два простых вопроса:
1) От чего зависит «главная» функция? В данном случае функция «зет» зависит от двух функций («у» и «вэ»).
2) От каких переменных зависят вложенные функции? В данном случае оба «вкладыша» зависят только от «икса».
Таким образом, у вас не должно возникнуть трудностей, чтобы адаптировать формулу к этой задаче!
Краткое решение и ответ в конце урока.
Дополнительные примеры по первому виду можно найти в задачнике Рябушко (ИДЗ 10.1) , ну а мы берём курс на функцию трёх переменных :
Пример 3
Дана функция , где .
Вычислить производную в точке
Формула производной сложной функции , как многие догадываются, имеет родственный вид:
Решайте, раз догадались =)
На всякий случай приведу и общую формулу для функции :
, хотя на практике вы вряд ли встретите что-то длиннее Примера 3.
Кроме того, иногда приходится дифференцировать «урезанный» вариант – как правило, функцию вида либо . Оставляю вам этот вопрос для самостоятельного исследования – придумайте какую-нибудь простенькие примеры, подумайте, поэкспериментируйте и выведите укороченные формулы производных.
Если что-то осталось недопонятым, пожалуйста, неторопливо перечитайте и осмыслите первую часть урока, поскольку сейчас задача усложнится:
Пример 4
Найти частные производные сложной функции , где 
Решение
: данная функция имеет вид , и после прямой подстановки и мы получаем привычную функцию двух переменных:
Но такой страх не то чтобы не принято, а уже и не хочется дифференцировать =) Поэтому воспользуемся готовыми формулами. Чтобы вы быстрее уловили закономерность, я выполню некоторые пометки:
Внимательно просмотрите картинку сверху вниз и слева направо….
Сначала найдём частные производные «главной» функции:
Теперь находим «иксовые» производные «вкладышей»:
и записываем итоговую «иксовую» производную:
Аналогично с «игреком»:
и
Можно придерживаться и другого стиля – сразу найти все «хвосты» 
и потом записать обе производные.
Ответ
:
О подстановке 
что-то как-то совсем не думается =) =), а вот причесать результаты немножко можно. Хотя, опять же, зачем? – только усложните проверку преподавателю.
Если потребуется, то полный дифференциал
тут записывается по обычной формуле, и, кстати, как раз на данном шаге становится уместной лёгкая косметика:
Такой вот... ....гроб на колёсиках.
Ввиду популярности рассматриваемой разновидности сложной функции пара заданий для самостоятельного решения. Более простой пример в «полуобщем» виде – на понимание самой формулы;-):
Пример 5
Найти частные производные функции , где 
И посложнее – с подключением техники дифференцирования:
Пример 6
Найти полный дифференциал функции 
, где 
Нет, я вовсе не пытаюсь «отправить вас на дно» – все примеры взяты из реальных работ, и «в открытом море» вам могут попасться какие угодно буквы. В любом случае потребуется проанализировать функцию (ответив на 2 вопроса – см. выше) , представить её в общем виде и аккуратно модифицировать формулы частных производных. Возможно, сейчас немного попутаетесь, но зато поймёте сам принцип их конструирования! Ибо настоящие задачи только начинаются:)))
Пример 7
Найти частные производные и составить полный дифференциал сложной функции
, где
Решение
: «главная» функция имеет вид и по-прежнему зависит от двух переменных – «икса» и «игрека». Но по сравнению с Примером 4, добавилась ещё одна вложенная функция, и поэтому формулы частных производных тоже удлиняются. Как и в том примере, для лучшего вИдения закономерности, я выделю «главные» частные производные различными цветами:
И снова – внимательно изучите запись сверху вниз и слева направо.
Так как задача сформулирована в «полуобщем» виде, то все наши труды, по существу, ограничиваются нахождением частных производных вложенных функций:
Справится первоклассник:
И даже полный дифференциал получился вполне себе симпатичный:
Я специально не стал предлагать вам какую-то конкретную функцию – чтобы лишние нагромождения не помешали хорошо разобраться в принципиальной схеме задачи.
Ответ
: 
Довольно часто можно встретить «разнокалиберные» вложения, например:
Здесь «главная» функция хоть и имеет вид , но всё равно зависит и от «икс», и от «игрек». Поэтому работают те же самые формулы – просто некоторые частные производные будут равны нулю. Причём, это справедливо и для функций вроде 
, у которых каждый «вкладыш» зависит от какой-то одной переменной.
Похожая ситуация имеет место и в двух заключительных примерах урока:
Пример 8
Найти полный дифференциал сложной функции в точке
Решение
: условие сформулировано «бюджетным» образом, и мы должны сами обозначить вложенные функции. По-моему, неплохой вариант:
Во «вкладышах» присутствуют (ВНИМАНИЕ!
) ТРИ буквы – старые-добрые «икс-игрек-зет», а значит, «главная» функция фактически зависит от трёх переменных. Её можно формально переписать в виде , и частные производные в этом случае определяются следующими формулами:
Сканируем, вникаем, улавливаем….
В нашей задаче:
Рассматривая функции одной переменной, мы указывали, что при изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем несколько примеров.
Пример 1. Площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у, выражается формулой Каждой паре значений х и у соответствует определенное значение площади S; S есть функция двух переменных.
Пример 2. Объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны х, выражается формулой . Здесь V есть функция трех переменных х.
Пример 3. Дальность R полета снаряда, выпущенного с начальной скоростью . Из орудия, ствол которого наклонен к горизонту под углом , выражается формулой если пренебречь сопротивлением воздуха). Здесь - ускорение силы тяжести. Для каждой пары значений эта формула дает определенное значение R, т. е. R является функцией двух переменных
Пример 4. и Здесь и есть функция четырех переменных
Определение 1. Если каждой паре значений двух не зависимых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины , то мы говорим, что есть функция двух независимых переменных х и у, определенная в области
Символически функция двух переменных обозначается так:
Функция двух переменных может быть задана, например, с помощью таблицы или аналитически - с помощью формулы, как это сделано в рассмотренных выше четырех примерах. На основании формулы можно составить таблицу значений функции для некоторых пар значений независимых переменных. Так, для
первого примера можно составить следующую таблицу:
В этой таблице на пересечении строки и столбца, соответствующих определенным значениям х и у, проставлено соответствующее значение функции
Если функциональная зависимость получается в результате измерений величины z при экспериментальном изучении какого-либо явления, то сразу получается таблица, определяющая z как функцию двух переменных. В этом случае функция задается только таблицей.
Как и в случае одной независимой переменной, функция двух переменных существует, вообще говоря, не при любых значениях х и у.
Определение 2. Совокупность пар значений при которых определяется функция называется областью определения или областью существования этой функции.
Область определения функции наглядно иллюстрируется геометрически. Если каждую пару значений х и у мы будем изображать точкой в плоскости то область определения функции изобразится в виде некоторой совокупности точек на плоскости. Эту совокупность точек будем также называть областью определения функции. В частности, областью определения может быть и вся плоскость. В дальнейшем мы будем главным образом иметь дело с такими областями, которые представляют собой части плоскости, ограниченные линиями. Линию, ограничивающую данную область, будем называть границей области. Точки области, не лежащие на границе, будем называть внутренними точками области. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой или незамкнутой. Если же к области относятся и точки границы, то область называется замкнутой. Область называется ограниченной, если существует такая постоянная С, что расстояние любой точки М области от начала координат О меньше С, т. е. .
Пример 5. Определить естественную область определения функции
Аналитическое выражение имеет смысл при любых значениях х и у. Следовательно, естественной областью определения функции является вся плоскость
Пример 6. .
Для того чтобы имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, т. е. х и у должны удовлетворять неравенству или
Все точки координаты которых удовлетворяют указанному неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в начале координат и на границе этого круга.
Пример 7. .
Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то должно удовлетворяться неравенство или .
Это значит, что областью определения функции является половина плоскости, расположенная над прямой не включая самой прямой (рис. 166).
Пример 8. Площадь треугольника 5 представляет собой функцию основания и высоты
Областью определения этой функции является область как основание треугольника и его высота не могут быть ни отрицательными, ни нулем). Заметим, что область определения рассматриваемой функции не совпадает с естественной областью определения того аналитического выражения, с помощью которого задается функция, так как естественной областью определения выражения является, очевидно, вся плоскость Оху.
До сих пор мы занимались изучением функции одной переменной, т.е. изучением переменной, значения которой зависят от значений одной независимой переменной.
На практике часто приходится иметь дело с величинами, численные значения которых зависят от значений нескольких изменяющихся независимо друг от друга величин. Изучение таких величин приводит к понятию функции нескольких переменных. Приведем несколько примеров.
Пример 1. Площадь прямоугольника есть функция двух независимо друг от друга изменяющихся переменных – сторон прямоугольника и : .
Пример 2. Работа электрического тока на участке цепи зависит от разности потенциалов на концах участка, силы тока и времени : .
Пример 3. Температура , измеряемая в различных точках некоторого тела, есть функция от координат точки, в которой она измеряется, и от момента времени : .
Определение 1. Назовем n -мерной точкой упорядоченный набор из чисел . Числа называются координатами -мерной точки . Множество всевозможных -мерных точек назовем n-мерным пространством и будем обозначать его . Точку назовем началом координат в -мерном пространстве, а число – размерностью пространства.
Частные случаи :
1. – числовая прямая;
2. – плоскость;
3. – трехмерное пространство.
Определение 2. Пусть имеется переменных величин, и каждому набору их значений из некоторого множества соответствует одно вполне определенное значение переменной величины . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных
Переменные называются независимыми переменными или аргументами , – зависимой переменной , символ – закон соответствия .
Также как и функцию одной переменной функцию нескольких переменных можно задать явно – и неявно – .
Любую явную функцию нескольких переменных можно представить как функцию точки в -мерном пространстве: , где точка определяется набором ее координат.
Если каждой точке из области определения соответствует одно значение , то функция называется однозначной , в противном случае – многозначной .
Множество называется областью определения функции , оно является подмножеством -мерного пространства. Подобно промежутку область может быть замкнутой или открытой в зависимости от того, содержит она свою границу или нет.
Естественной областью определения функции (1) называется множество точек , координаты которых однозначно обеспечивают вещественные и конечные значения функции . В дальнейшем, если дополнительные ограничения на изменение независимых переменных постановкой задачи не накладываются, под областью определения функции будем подразумевать ее естественную область определения.
Рассмотрим более подробно два частных случая, которые являются наиболее простыми и допускают геометрическую интерпретацию.
1. Функция двух переменных (n = 2)
Функцию двух переменных будем обозначать . Частное значение функции при , или в точке записывают в виде , , или .
Область определения функции есть подмножество точек координатной плоскости . В частности, областью определения функции может быть вся плоскость или часть плоскости, ограниченная линиями. Линию, ограничивающую данную область, будем называть границей области. Точки плоскости, не лежащие на границе, будем называть внутренними .
Пример 4. Функция определена на всей плоскости .
Пример 5. Функции определена на всей плоскости, за исключением прямой .
Пример 6. Областью определения функции является множество точек плоскости , координаты которых удовлетворяют соотношению , т.е. круг радиуса 1 и с центром в начале координат. Область определения этой функции является замкнутой.
Следующий пример рассмотрим более подробно.
Пример 7. Найти область определения функции .
Решение.
Логарифм определен только при положительном значении аргумента, поэтому на аргументы имеется одно условие: .
Чтобы изобразить геометрически область , найдем сначала ее границу: . Полученное уравнение определяет параболу, вершина которой расположена в точке , а ось направлена в положительную сторону оси .
|
Следовательно, искомая область состоит из внутренних точек параболы. Сама парабола в область не входит, значит, область отрытая.
Определение 3.Окрестностью точки называется любой открытый круг, содержащий точку .
В частности, -окрестностью называется открытый круг с центром в точке и радиусом .
Очевидно, круг на плоскости есть двумерный аналог интервала на прямой.
При изучении функций нескольких переменных во многом используется уже разработанный математический аппарат для функции одной переменной. А именно: любой функции можно поставить в соответствие пару функций одной переменной: при фиксированном значении функцию и при фиксированном значении функцию .
Следует иметь в виду, что хотя функции и имеют одно и то же "происхождение", вид их может существенно различаться.
Пример 9. Рассмотрим функцию . При функция является степенной, а при функция является показательной.
Геометрическое изображение функции двух переменных.
Как известно, функция одной переменной может быть изображена некоторой кривой на плоскости, если рассматривать значения ее аргумента как абсциссы, а значения функции как ординаты точек кривой.
Подобным же образом функция двух переменных может быть изображена графически.
Рассмотрим функцию , определенную в области на плоскости и систему прямоугольных декартовых координат . Каждой точке множества поставим в соответствие точку пространства , аппликата которой равна значению функции в точке : . Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которую естественно принять за графическое изображение функции .
Определение 4.Графикомфункции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства , аппликата которых связана с абсциссой и ординатой функциональным соотношением .
|
2. Функция трех переменных (n = 3)
Функцию трех переменных будем обозначать , при этом будем считать, что , и – независимые переменные (или аргументы), а – зависимая переменная (или функция).
Областью определения такой функции называется множество всех рассматриваемых троек чисел. Если функция задана аналитически, под ее естественной областью определения подразумевают совокупность всех троек чисел , для которых функция принимает действительные значения.
Определение 6.Окрестностью точки называется любая открытая сфера, содержащая точку .
В частности, -окрестностью называется открытая сфера с центром в точке и радиусом .
Изображая тройки чисел точками пространства , можно рассматривать функцию трех переменных как функцию точки пространства, а область определения функции трех переменных – как некоторое множество точек пространства.